《能源监测与评价》——能源系统工程之基本方法

(二)建立线性规划的数学模型

1.确定决策变量

对企业的决策者来说，通常存在可以进行控制的因素，如产量的多少、运输量的多少、配料的比例、下料的方案等，这些因素可以用变量来表示，成为决策变量。

2.确定目标函数

企业的决策者必须有一个明确的目标，这个目标可以是总运输量最小、成套产品数量最多、利润最大、成本最低等。它是决策变量的函数，成为目标函数。

3.确定约束条件

实现上述目标，决策者的行为必须受到限制，如运输量要受到供应能力和需求量的限制、机床的加工任务要受到生产能力的限制等，这些变量的限制条件或限制范围，称为约束条件，它是一些限制决策者的条件的数学描述。

4.线性规划问题的描述

所谓线性规划问题，可以概括为：在约束条件下寻求一组决策变量的值，使目标函数达到最大值或最小值，而模型中无论是目标函数还是约束条件对变量来说都是线性的。线性是指函数中所含变量都是一次项，即都是一次函数。

(三)线性规划的解法

线性规划的解法有图解法、单纯形法和数值解法等，图解法简单直观，但是只能够解决两个变量的问题;数值解法则要求借助于计算机。

1.图解法

含有两个变量的线性规划模型，可以用在平面上画图的方法——图解法求解。图解法解决线性规划问题简单、方便、直观，对于理解线性规划的基本原理也是很有帮助的。

这里有几个重要的概念：

(1)可行解。满足所有约束条件的一个变量，叫做一个可行解。

(2)可行域。全体可行解构成的集合，称为可行域。

(3)最优解。使目标函数达到最优解的可行解，叫做线性规划的最优解。

一般情况下，一个线性规划问题可能有一个唯一的最优解、多个最优解、无解或者只有无界解。

2.单纯形法

图解法，对两个变量的线性规划是非常方便的，但是当变量是三个或者超过三个以上时，该法就显得无能为力了。美国数学家Dantzig发明的单纯形法则是解决多变量线性规划的一种有效的代数方法。单纯形法的最大特点就是计算简单、方便、宜于推广，这个方法一般只需要用到加、减、乘、除运算。目前，单纯形法的计算机程序十分成熟，已经运用于许多部门，有效地解决了许多实际问题。为了更好地理解单纯形法的思想，先了解一下有关线性规划解的一些基本性质：

(1)线性规划的约束条件所构成的可行域是一个凸多边形或凸多面体。

(2)在凸多边形或凸多面体中有一些重要的点，与所讨论的问题有着密切的关系，这就是多边形的顶点。在线性规划中，称可行域顶点对应的可行解为基本可行解，可行解顶点之所以重要，在于如果线性规划有最优解，那么它的最优解一定在可行域的顶点达到。

(3)基本可行解。对于一个具有m个方程行个变量(n>m)的线性方程组，如果其系数矩阵中含有一个m阶单位矩阵(或对方程组的增广矩阵经过初等行变换简化后，其系数部分出现一个单位矩降)，则称单位矩阵所在列对应的变量为基变量，其他的变量成为非基变量。由线性代数的知识可以知道，当今非基变量取零值时，则立即得到方程组的一组解(也叫一个解)，若这组解的所有分量皆大于或等于零的值，则这样得到的解成为基本可行解。一个基本可行解中基变量的个数等于约束方程的个数m，基变量一般是大于零的，而非基变量永远是等于零的。

上面说过，最优解可以在基本可行解中寻找，但是要把所有的基本可行解全部找出来，代人目标函数依次进行比较，也是比较麻烦的，单纯形法的优越性就在于不用找出全部的基本可行解，在得到一个基本可行解F后，依据这个解可以求出一个新的基本可行解X1，并且新解比旧解的目标函数值会有所改善，不断重复这个过程，直到求出的解无法再使目标函数得到改善为止。

三、层次分析法

由于客观事物关系的复杂性，许多事物是不能用数学简单而明确地表达的，还有许多事物的关系本来就不是数学关系，因此完全用定量的分析方法就难免带有局限性。在目前的系统分析方法中，对于涉及因素多、范围广、关系复杂的大系统，相当多的还要依靠定性分析。这些定性分析中包括专家对专业范围内事物发展变化的推测、对内部和外部关系的定性描述、对事物的定性评价等。因此，如何将专家的主观分析数量化，即将定量分析和定性分析结合起来对客观事物进行分析、评价，就成为系统工程的一个问题，层次分析法正是这样一种将定量分析和定性结合起来的方法。

(一)基本原理

用层次分析法作系统分析，首先要把问题层次化，根据问题的性质和要达到的目标，将问题分解成为不同的组成因素，井按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按照不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，并最终把系统分析归结为最低层(供决策的方案、措施等)，相对于最高层(总目标)的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。

在排序计算中，每一层次的因素相对于上一层次某一因素的单排序问题又可以简化成一系列相对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层次分析法引入1-9比率标度方法，并写成矩阵形式，即构成所谓的判断矩阵。形成判断矩阵后，即可通过计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量，计算出某一层元素相对于上一层次各个因素的单排序权值后，用上一层次因素本身的权值加以综合，即可计算出某层因素相对于上一层次整个层次的相对重要性权值，即层次总排序权值。这样，依次由上至下即可计算出最低层因素相对于最高层的相对重要性权值或相对优劣次序的排序值，决策者根据对系统的这种数量关系，进行决策、政策评价、选择方案、制定和修改计划、分配资源、决定需求、预测结果、找到解决冲突的方法等。

(二)步骤

层次分析法大致分为五个步骤：

1.建立层次结构模型

在深入分析所面临的问题之后，将问题中所包含的因素划分为不同层次，如目标层、准则层、指标层、方案层、措施层等，用框图形式说明层次的递阶结构与因素的从属关系，当某个层次包含的因素较多时，可以将该层次进一步划分为若干个层次。

2.构造判断矩阵

判断矩阵元素的值反映了人们对各种因素相对重要性(或优劣、偏好、强度等)的认识，一般采用1-9比率及其倒数的标度方法。当相互比较因素的重要性能够用具有实际意义的比值说明时，判断矩阵相应元素的值则可以取这个值。

3.层次单排序及其一致性检验

判断矩阵A的特征根问题AW=AmaxW的解Ⅳ经归一化后即为同一层次相应元素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。为进行层次单排序(或判断矩阵)的一致性检验，需要计算一致性指标时，认为层次单排序的结果有满意的一致性，否则需要调整判断矩阵的元素取值。

4.层次总排序

计算同一层次所有因素对于最高层(目标层)相对重要的排序权值，称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次逐层进行的。

5.层次总排序的一致性检验

这一步骤也是从高到低逐层进行的。

(三)应用

层次分析法是分析复杂问题的一种简便方法，它特别适宜于那些难以完全用定量法进行分析的复杂问题。可以运用层次分析法来处理决策和评选问题，也可以将层次分析法用于有限资源的分配等。层次分析法在能源问题中有很多用处，如在各种能源优化规划中确定多目标的权重，对于各种能源开发方案进行评比等。